在一维线性动态规划里，我们经常见到形如 $f(i)=min/max(f(j)+c_i)$（其实可以看成 $f(i)=min/max(a_i+b_j)$ ）这样形式的转移方程。朴素做法是 $\Theta (N^2)$。显然这样的形式可以用单调队列维护，优化到 $\Theta (N)$。但是如果遇到 $f(i)=min/max(a_i\ast b_j+c_i+d_j)$ 这样的，似乎用单调队列就难以维护了……因为 $a_i\ast b_j$ 既与 $i$ 有关，又与 $j$ 有关。这时候就要用到另一种优化方式：斜率优化。

[notice]本文含有大量 KaTeX 公式，请确保浏览器资磁。
可能是我所有博客里公式最多的一篇，在编辑本文的时候，编辑器已经卡得不成样子了……[/notice]

概述

下面我们以 $f(i)=a_i\ast b_j+c_i+d_j$ 这个状态转移方程为例讲讲通用做法（如果不想看可以直接看例题）。

$f(i)=a_i\ast b_j+c_i+d_j$ 这个状态转移方程，既和 $i$ 有关又和 $j$ 有关。简单来说，这个方程通过适当的转换可以看成一条直线，一般方法是令 $x=b_j,y=d_j$，通过变形就可以得到：

y=-a_i x+(f(i)-c_i)

可以看到这就是 $y=kx+b$ 的形式，也就是说这个等式表示的是一条斜率为 $-a_i$ 并且截距为 $f(i)-c$ 的直线。既然要 $f(i)$ 尽量小，自然要使这条直线截距尽量小。现在斜率确定了，那么我们要找之前的可以使截距最小的 $(b_j,d_j)$。通过一个单调队列维护下凸壳，我们可以在 $\Theta (1)$ 时间内做到这一点。具体方法下面会讲。

例题

HNOI2008 玩具装箱TOY

洛谷题目链接：HNOI2008 玩具装箱TOY

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为 $1\cdots N$ 的 $N$ 件玩具，第 $i$ 件玩具经过压缩后变成一维长度为 $C_i$ .为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第 $i$ 件玩具到第 $j$ 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 $x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k$ 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 $x$ ,其制作费用为 $(X-L)^2$ .其中 $L$ 是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 $L$ 。但他希望费用最小.。

数据范围：$1\leqslant N\leqslant 50000,1\leqslant L,C_i\leqslant 10^7$。

分析

这是一道斜率优化的入门题，非常典型。

首先根据题目可以推出一维动态规划的状态转移：

f(i)=f(j)+(i-j+\sum_{k=j}^{i}(C_k)-L-1)^2

到这里可以 $\Theta(N^2)$ 做。接下来前缀和累计一下，得到：

f(i)=f(j)+(i+sum_i-j-sum_{j-1}-L-1)^2

方便起见，令 $A_i=i+sum_i,B_i=i+sum_{i-1}+L+1$，原式又变成：

f(i)=f(j)+(A_i-B_j)^2=f(j)+2A_iB_j+A_i^2+B_j^2 \\
2A_iB_j+A_i^2+f(i)=f(j)+B_j^2

现在我们令 $x=B_j,y=f(j)+B_j^2$，那么得到：

y=2A_ix+(f(i)+A_i^2)

可以看到这就是 $y=kx+b$ 的直线表达式形式。我们可以把它看做一条经过点 $(B_j,f(j)+B_j^2)$ 并且斜率为 $2A_i$ 的直线。那么现在我们要让 $f(i)$ 尽量小，也就是这条直线在 $y$ 轴上的截距尽量小。
想象在平面直角坐标系里这样斜率固定的这样一条直线，我们只需要一直平移平移平移，第一个与这条直线相交的 $(B_j,f(j)+B_j^2)$ 的点就是满足截距最小的点。

在上图中，A 点既是当前最合适的点。但是怎么才能 $\Theta (1)$ 找到这个点呢？
其实可以用单调队列维护一个下凸壳，如下图：

我们只对这个凸壳上的点感兴趣。那么具体怎么维护这样一个凸壳呢？我们维护一个单调队列，对于当前的 $i$，我们先把 head 开始不符合的点都删掉，删到 head 为最优为止，然后通过 head 算出当前答案；然后把不符合条件的 tail 都搞掉，再加入当前的点。很类似计算几何里求凸包。
具体实现，假设 $slope(i,j)$ 代表 $i,j$ 点连边的斜率：

删除头部的过程中，如果 $slope(que_{head},que_{head+1})<2\ast A_i$ 则舍弃头，$head$++；
如果不能推头了，用当前 $head$ 修正 $f(i)$；
删尾部，如果 $slope(que_{tail-1},que_{tail}< slope(que_{tail-1},i))$ 就说明尾部没有当前这个点优秀，删尾部，删到不能删为止。

OK 了。复杂度从 $\Theta (N^2)$ 降到了 $\Theta (N)$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#define CLEAR(_) memset(_,0,sizeof(_))
#define sqr(_) ((_)*(_))
using namespace std;

const int maxn=50005;
int n;
long long f[maxn],sum[maxn],a[maxn],b[maxn],L;

struct Point{
    double x,y;
    int id;
};

int head=0,tail=0;
Point que[maxn];

inline int read(){
    int ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ret*f;
}

inline double GetK(Point p1,Point p2){
    return (double)(p1.y-p2.y)/(p1.x-p2.x);
}

int main(){
    n=read();L=read();
    b[0]=L+1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x=read();
        sum[i]=sum[i-1]+(long long)x;
        a[i]=sum[i]+i;
        b[i]=sum[i]+i+(long long)L+1.0;
    }
    head=tail=1;que[1]=(Point){b[0],sqr(b[0]),0};
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while ((head<tail)&&(GetK(que[head],que[head+1])<2.0*(double)a[i])) head++;
        int j=que[head].id;
        f[i]=f[j]+sqr(a[i]-b[j]);
        Point now=(Point){(double)b[i],(double)f[i]+sqr(b[i]),i};
        while ((head<tail)&&(GetK(now,que[tail-1])<GetK(que[tail-1],que[tail]))) tail--;
        que[++tail]=now;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}

ZJOI2007 仓库建设

洛谷题目链接：ZJOI2007 仓库建设

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
• 工厂i目前已有成品数量Pi;
• 在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

分析

显然是动态规划的思想，根据题意不难推出这个转移方程：

f(i)=f(j)+c_i+\sum_{k=j+1}^{i} P_k\ast dist(k,i)

一样的套路。
我们先定义几个量：

• $d_i$：$x_i$ 的前缀和；
• $sump_i$：$P_i$ 的前缀和；
• $summ_i$：$P_i\ast d_{i-1}$ 的前缀和（YYK 说这是“前缀积”，我认为是不合适的！！！）。

因为 $dist(k,i)=d_i-d_{k-1}$，我们得到：

\sum_{k=j+1}^{i} P_k\ast dist(k,i)=\sum_{k=j+1}^{i} P_k(d_i-d_{k-1})=\sum_{k=j+1}^{i} P_kd_i-P_kd_{k-1}

展开得到：

d_i(P_{j+1}P_{j+2}\dots P_{i})-(P_{j+1}d_j+P_{j+2}d_{j+1}+\dots+P_i d_{i-1})

前缀和派上用场了，原式可以变形为：

f(i)=f(j)+c_i+d_i(sump_i-sump_j)-(summ_i-summ_j)

整理得到：

f(i)=c_i+d_i sump_i-summ_i-d_i sump_j+summ_j+f(j)

为了方便表述，我们令 $A_i=c_i+d_i sump_i-summ_i,B_i=summ_i+f(i)$：

f(i)=A_i+B_j-d_i sump_j

然后令 $x=sump_j,y=B_j$ 那么原式化为：

f(i)=A_i+y-d_ix \iff y=d_ix+f(i)-A_i

大功告成了！又是和上面那题一样的题目了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=1000005;

int n;
long long d[maxn],c[maxn],p[maxn];
long long f[maxn],sump[maxn],summ[maxn];
long long a[maxn],b[maxn];
int head=0,tail=0,que[maxn];

inline int read(){
    int ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ret*f;
}

inline double X(int i){return (double)sump[i];}
inline double Y(int i){return (double)b[i];}

inline double slope(int i,int j){
    return (double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));
}

int main(){
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        d[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();
        sump[i]=sump[i-1]+p[i];
        summ[i]=summ[i-1]+p[i]*d[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=c[i]+d[i]*sump[i]-summ[i],f[i]=c[i]+d[i]*sump[i]-summ[i];
    head=tail=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while ((head<tail)&&(slope(que[head],que[head+1])<d[i])) head++;
        f[i]=min(f[i],a[i]+b[que[head]]-d[i]*sump[que[head]]);
        b[i]=summ[i]+f[i];
        while ((head<tail)&&(slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail-1],i))) tail--;
        que[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}