今天的 XY 题居然是递推专题，五道题目全都是递推，30+个人 AK 了……
递推是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。
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递推专项训练五题题解
AC 自动机（Aho–Corasick 算法）与字符串匹配问题
据说很多公司都有这样一道面试题：给你几个 G 的字符串，让你想办法快速地找出其中的很多个需要和谐的敏感词。
这个问题里，如果“需要和谐的字符串”称为“模式串”，“待被查的字符串”称为文本串。对于这样的问题，如果暴力做，复杂度就是 $\Theta(N \ast M \ast Len)$……用 AC 自动机这种高级的算法，可以在 $\Theta (N)$ 左右复杂度内得出答案。Excited！
欧拉函数的应用：快速求解 1~n 中两两数字的最小公倍数
今天遇到一个十分 Dark 的题目，让你求：
$$\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} lcm(i,j)$$
一共 $T$ 组数据，数据范围是：$T \leqslant 2 \ast 10^5, n \leqslant 3\ast 10^6$……
欧拉筛的应用：在线性时间（O(N)）内求出 1~N 的欧拉函数
埃氏筛法（朴素筛法及其优化）与欧拉筛（线性筛法）略解
在之前我们学过的最朴素的筛法就是埃氏筛法（埃拉托斯特尼筛法），它的复杂度是 $\Theta (N \log_2(N))$。其实这个朴素的筛法可以进行常数上的优化。还有一种更炫酷的筛法：欧拉筛，即线性筛法，时间复杂度为 $\Theta (N)$。
差分约束系统的应用
如果告诉你在一个三角形中，$B-A \leqslant c, C-B \leqslant a, C-A \leqslant b$，怎么求 $C-A$ 的最大值呢？通过yy观察可以发现，$C-A$ 的最大值是 $min(a+c,b)$。这个答案如何得出？将这个三角形内的约束条件推广到更多约束条件呢？
Tarjan 算法求解无向图的割点与割边
在一幅无向图中，如果删除了一个点，导致图分成了两个或多个联通块（强连通分量），那么这个点就是割点。怎么求这样的点呢？最原始暴力的方法就是每次枚举一个点，删除，跑一遍最短路。今天我们可以用更高级的 Tarjan 算法 $ \displaystyle \Theta (N)$ 求解。
Kruskal 算法求最小生成树与次小生成树
Kruscal 算法是求最小生成树的基础算法，很容易求得最小生成树，但是怎么利用这个算法求非严格次小生成树与严格次小生成树呢？
0/1 分数规划与 Dinkelbach 迭代法
0/1 分数规划是一种常见的模型：给你 n 个价值 $a_i$ 与 n 个代价 $b_i$，让你选出 m 个数字，使得 $ \sum \frac {a_i} {b_i} $ 最大。显然这种题目可以用二分，但是有一种更优秀的方法：Dinkelbach 迭代法。
康托展开（Cantor Expansion）例题 + 略解
现在有N个数，分别为1到N，如果要问你这些数的所有排列中，从小到大数的第N个是多少，如何求解？
显然当N很小时直接写个模拟就可以了。但是这样写的时间复杂度至少是$A_N^N$，也就是$N!$，很容易超时。想想$13!$已经是6227020800了……有没有更快的方法呢？